В скором времени кука будет рассматриваться как межсайтовая
 

Есть простой проект, где используются php сессии. Сегодня видел в консоли странные сообщения:
Что это за инновации, кто в курсе? Гугл ничего не подсказал. Доменное имя одно и тоже.

Думаю речь о протоколах http и https.
У вас сайт, скорее всего, тянет ресурсы и с http, и с https.

Да в том то и дело, что тянет все локально, даже без указания ссылки, т.е. вида script src=./jquery.js
Странное дело в общем.