Инпут по-клику
 

Что не так?:help:

<a href="#" onClick="open();return false">Подобрать к имени или фамилии</a><br><br>
<div id="open">
<input type="text" placeholder="Имя"><br><br>
<input type="text" placeholder="Фамилия"><br><br>
</div>
<input type="button" value="Генерировать" >

<script>
function open() {
document.getElementById('open').style.display = 'block';
}

</script>

NellDenZ,
отсутствие фантазии

Слово open использовать нельзя! Вот, держи:

<a href="#" onClick="openx();return false">Подобрать к имени или фамилии</a><br><br>
<div id="open" style="display: none;">
<input type="text" placeholder="Имя"><br><br>
<input type="text" placeholder="Фамилия"><br><br>
</div>
<input type="button" value="Генерировать" >

<script>
function openx() {
document.getElementById('open').style.display = 'block';
}

</script>