Шефу клик не нужен. Да и не очень удобно все это будет

Хм... Попробую что-нибудь из своего опыта реализовать :)
Как раз и мне будет опытом :)

$(".menu").on("mouseover", function() {
	var timer = setTimeout(function() {
		$(".drop").slideDown("slow");
	}, 500);
	$(".menu").on("mouseout", function() {
		clearTimeout(timer);
	});
});
$(".drop ul").on("mouseleave", function() {
    $(".drop").slideUp("slow");
});

Надеюсь разберешься, у меня всё хорошо работает)

https://jsfiddle.net/5tr7mcm0/4/