JSON, но

если перед выводом в браузер json строки до этого вывода или после него будет также вывод в браузер, то клиент получит невалидный json. Как при этом поступит JQ написано выше.

Ваша страница ведь формируется не этим куском кода, а как мне не ведомо. Но по коду я могу только предполагать, что запрос (action формы) как-то связан с выводом в браузер (тут код формы и т.п.). Если это так, то обработчик запроса клиента должен быть первым в коде и завершается выходом, чтобы код следуемый далее и связанный с выводом не исполнялся.

Если запрос не связан с другими выводами и единственный вывод в нем, это вывод json, то все нормально.

Это вы должны знать и иметь ввиду, ибо кроме вас полностью серверного кода никто не видит.

На клиенте есть установленный обработчик, но нет запроса. Это могут быть конфликты или что-то мешает и т.п. Для начала заремируйте подключение сторонних скриптов - метрику яшки и прочую лабуду, она пока не нужна, иначе в отладчике ... Проверить сам обработчик можно добавлением в его код вывод чего угодно в консоль, если он будет, то проблемы с самим методом $.ajax.

на локалхосте нет ничего стороннего, там просто установлен вордпрес с дефолтной темой, там должно работать, но не работает

ето можно сделать в браузере в инспекторе (F12)?

скорее всего так и есть, даже не с методом а с спецификой взаимодействия с вордпрес

Мне же недоступен ваш локальный сервер, если речь о нем, а в сети по ссылке просмотреть обработчики, а там все яшкой и прочими забито.

Просто в обработчик отправления формы добавить строку: console.log(1) (до $.ajax), если в консоли отладчика будет вывод 1, значит нет иных кто бы мешал отправлению формы и проблема с $.ajax. В WP нет специфики взаимодействия, есть правила подключения плагинов и своих скриптов, что описано в документации WP. Их немного меняют от версии к версии, но все это отражается в доках. Собственно такой порядок не только в WP, но и в других CMS.

Интересно, а зачем на сервер отправлять запрос для перересчета каких-то килограммов, очень мощная математика? )

с етим понял, вечером попробую

не мощная, просто в JS я очень слабо разбираюсь, по этому делаю как я занаю, и как мне проще, по сути мне нужен простой конвертер, он может быть на чем угодно, главное чтобы работал, большое спасибо Вам за помощь

Ну так сама математика конвертирования не меняется от языка к языку, и не так сложно ее описать и на JS.
Если бы сервер по цвету глаз вычислял, что нужно самую малость и будет счастье, тогда бы был смысл прятать этот чудодейственный расчет на сервере. А простой конвертор, тут не выгодно обслуживать запросы и соединения, это должно быть сервисом на клиенте. С этого вопроса и нужно было начинать.

jQuery(document).ready(function($){
       $('#btn_submit').click(function(){

Есть варик, что вызывается до того, как загружена форма, и поэтому слушатель не устанавливается и поэтому не срабатывает клик.

Я уже намекал, что надо открыть консоль разработчика, и там смотреть результаты "клика", надо в саму ф-цию клика поставить что-нибудь типа console.log('clicked'), что бы убедиться что слушатель установлен и отрабатывает.

После этого, если слушатель работает, нужно убедиться, что нет ошибок при выполнении ajax, посмотреть в разделе "сеть", на предмет, был ли вообще ajax запрос, после клика...

сделал, и вот что получается, следующий код в консоль выводит информацию:

jQuery(document).ready(function($){
	console.log(1);
			$('#lbkg_form').submit(function(e) {				
				e.preventDefault();
				$.ajax({
					type: this.method,
					url: this.action,
					dataType: "json", // тип передачи данных - это тип ожидаемых данных от сервера
					data: $(this).serialize(),
					// после получения ответа сервера
					success: function(data){
						$('.messages').html(data.result); // выводим ответ сервера
					}
				});
			});
		});

а вот если пишу так:

jQuery(document).ready(function($){	
			$('#lbkg_form').submit(function(e) {	
			console.log(1);
				e.preventDefault();
				$.ajax({
					type: this.method,
					url: this.action,
					dataType: "json", // тип передачи данных - это тип ожидаемых данных от сервера
					data: $(this).serialize(),
					// после получения ответа сервера
					success: function(data){
						$('.messages').html(data.result); // выводим ответ сервера
					}
				});
			});
		});

то не работает, вот где запинание:

$('#lbkg_form').submit(function(e) {

возможно действительно
но как с етим бороться?

да, попробую сейчас написать калькулятор на js, как говорится гугл мне в помощь, но все-же мне бы хотелось решить вопрос отправки данных из полей формы аяксом, так сказать на будущее...

У полей формы нет типов kg и lb, это удалить как мусор. А вот имена этим полям нужно определить - name="kg", name="lb", иначе на сервер такие поля не передаются по умолчанию. Кнопка отправления формы должна быть либо type="submit", либо <button>Посчитать</button>, и все будет работать.

сделал как Вы описали, теперь по нажатию на кнопку "Посчитать" информация в консоль выводится, но на сервер по прежнему данные не передаются, теперь получается проблема с самим методом ajax:

jQuery(document).ready(function($){	
			$('#lbkg_form').submit(function(e) {
				console.log(1);				
				e.preventDefault();
				$.ajax({
					type: this.method,
					url: this.action,
					dataType: "json", // тип передачи данных - это тип ожидаемых данных от сервера
					data: $(this).serialize(),
					// после получения ответа сервера
					success: function(data){
						$('.messages').html(data.result); // выводим ответ сервера
					}
				});
			});
		});

<?php
/*
* Plugin Name: Lb & Kg
* Description: Перевод веса фунтов в килограммы и наоборот
* Author: Chmil
* Version: 1.0
*/

if (isset($_POST["kg"])) {
	
	//добавил для проверки
	header('Location: http://www.google.com/');
	
	$arr = array('result' => '123456789');
	
	echo json_encode($arr);
	
}

add_shortcode('lbkggetfishbychmil', 'lb_kg_getfish');

function lb_kg_getfish($atts) {
 wp_enqueue_script('lb-kg-script', plugins_url('lb-kg.js', __FILE__), array('jquery'));
 wp_enqueue_style('lb-kg-styles', plugins_url('style.css', __FILE__));
 echo '<div class="form-lb-kg">';
 echo '<form action="' . plugins_url('lb-kg/lb-kg.php') . '" method="POST" id="lbkg_form">';
 echo '<fieldset>';
 echo '<legend>Онлайн конвертер (фунты & килограммы)</legend>';
 echo '<p><input name="kg" id="kg" placeholder="кг"></p>';
 echo '<p><input name="lb" id="lb" placeholder="lb"></p>';
 echo '<input id="btn_submit" type="submit" value="Посчитать" />';
 echo '</fieldset>';
 echo '</form>';
 echo '<div class="messages"></div>';
 echo '</div>';
}

?>