потому что в этом случае
target'ом является <p>, а у него нет нужного класса

Тогда так:
Вот такой вот тюнер
<br>
<p class="strun">1 струна</p>
<p class="strun">2 струна</p>
<p class="strun">3 струна</p>
<p class="strun">4 струна</p>
<p class="strun">5 струна</p>
<p class="strun">6 струна</p>
И в этом случае скрипт срабатывает на надписи "Вот такой вот тюнер", а этого по сути не должно быть.
Почему так?

а надпись не в блоке div с классом strun?

Нет, надпись не в диве.Кроме того,всем надписям,которые должны срабатывать я присвоил нужный класс,а там нет...

Уверены?

Вот такой вот тюнер
<br>
<p class="strun">1 струна</p>
<p class="strun">2 струна</p>
<p class="strun">3 струна</p>
<p class="strun">4 струна</p>
<p class="strun">5 струна</p>
<p class="strun">6 струна</p>
<script>
document.onclick = function( e ){
	if(e.target.className == "strun") alert("хороший");
}
</script>