Вообще, конечно, загрузка файлов и аякс здесь не причем. Просто статья так называется. В ней есть ответ на заданный вопрос. Если указать в теге формы атрибут target, который будет ссылаться на iframe- то по событию отправки формы страница не будет перезагружена, а результат ответа сервера отобразится в указанном iframe.
На сколько я помню есть doctype которые запрещают использовать iframe/

Верно. Но это все пережитки прошлого. Да и браузеры забивают на все эти формальные запреты в угоду максимальной работоспособности.

Беда прямо какая-то с этим, вроде простая отправка на мыло...

Вариант с FormData работает только в Хроме - во всех остальных ничего не происходит, php-скрипт даже не выполняется.
Вариант с serialize вообще не работает нигде.

Вариант по ссылке moskitos80 вроде можно обойтись без js, но тогда, насколько я понял, достаточно просто добавить атрибут target в form и какой-то фрейм - в этом весь смысл статьи? Js всё равно придется делать, иначе как окошко, что сообщение отправлено или нет вывести?

С FormData даже в хроме то работает, то нет.
Выдаёт сообщение:

Warning: mail()[function.mail]: Could not execute mail delivery program '/usr/sbin/sendmail -t -i' in /home/uez-host/uez.ru/docs/sendmail.php on line 11

Это уже проблемы на стороне хостера? К ним стучать?

Покажи как ты пытаешься его использовать. Ты обновил код после моей правки var i = 0? Какие ошибки? F12 жал в браузере?
Может ограничение на кол-во отправок в минуту?

Вариант с target везде сработал, спасибо!

Да, жал - никаких ошибок нет.

Вот полный код:

<script>
function isSubmittable(control)
{
    var element = control.nodeName.toLowerCase();
    if(['textarea'].indexOf(element) > -1) return true;
    if(element == 'input')
	{
        if(['submit', 'button'].indexOf(control.type) > -1) return false;        
        return true;
    }
    return false;
}
    
function serialize(form)
{
    var segments = [];
    for(var i = 0, control; control = form.elements[i]; i++)
	{
        if (!control.name || control.disabled || !isSubmittable(control)) continue;
        segments.push(encodeURIComponent(control.name) + '=' + encodeURIComponent(control.value));
    }
    return segments.join('&');
}

function sendForm(form, success)
{
    var request = new XMLHttpRequest();
    request.open(form.method, form.action);
    request.onreadystatechange = function() {
        if (request.readyState == request.DONE) {
            if (request.status == 200) {
                success(request.responseText);
            }
        }
    };	
    request.send(serialize(form));
}
</script>
<h3>Форма отправки обращения</h3>
<form onsubmit="return sendForm(this, alert), false" action="../sendmail.php" method="post">
	<p><input type="text" size="40" placeholder="Ваше имя" name="user"></p>			
	<p><input type="text" size="40" placeholder="E-mail" name="email"></p>
	<p><input type="text" size="40" placeholder="Тема письма" name="subj"></p>
	<p>Текст обращения<Br>
	<textarea placeholder="Текст обращения" name="text" cols="40" rows="6"></textarea></p>
	<p><input type="submit" value="Отправить" name="submit_form1"></p>						
</form>

Непохоже, пробовал несколько подряд отправлять - уходят. Затем через какое-то время не уходят.

Кстати, ответ сервера на срочку в php-скрипте:
header('Content-Type: text/html; charset=utf-8');

Warning: Cannot modify header information - headers already sent by (output started at /home/uez-host/uez.ru/docs/sendmail.php:1) in /home/uez-host/uez.ru/docs/sendmail.php on line 2

Что за ерунда? Как он может быть уже установлен?
Настройки сервера виноваты? Т.к. на другом хосте этот же код работает как часы.

На моей практике было подобное, когда почтовая служба не успевала разгребать очередь сообщений. Но тут все вопросы к хостеру.

- Такое бывает, когда на серверной стороне в PHP - скрипте произведен любой вывод в буфер (читай - отправка клиенту) какой либо из функций печати или попался файл с кодировкой utf-8 с маркером порядка байтов. В любом случае перед каким либо выводом в буфер сервер отсылает http - заголовки, что бы потом послать буфер в теле запроса. Следовательно после вывода он заголовки уже отослать не может, о чем тебе и сообщается - эта проблема решается в коде переносом строки:

header('Content-Type: text/html; charset=utf-8');

до момента какого либо вывода либо с использованием механизма буферизации опять же можно у меня глянуть: PHP: Буферизация вывода

moskitos80,
так и есть, спасибо большое за помощь!