запомнить элемент на странице.
 

Каким образом можно запомнить элемент(узел) документа? Так чтобы после обновления страницы его можно было снова найти. чтобы это можно было применить к любому элементу. Как надёжней будет? а то после обновления страницы что-то может изменится.

Запиши нужные атрибуты(id, className и т.д.) в localStorage. При обновлении страницы вытащи из localStorage нужные параметры и уже по них ищи этот элемент.

на странице есть несколько элементов с одинаковыми атрибутами и свойствами. Как их различить?

Добавить разные атрибуты)

Документ стандартный и его нельзя менять

Ну я бы в цикле сформировал XPath приблизительно такого вида "/*[4]/*[3]/*[5]", запомнил в localStorage, и потом его так находил.
Вместо XPath можно использовать CSS, но суть решения от этого не меняется.