var obj = {a:1};
function fun (obj) {
    console.log(obj); // {a:1}
    obj.a = 4;
    obj = {a:3}; // что происходит здесь? Это новая переменная? Это аргумент? если переменная то почему она не меняет глобальную, онаже без var?
    console.log(obj); // {a:3}
}
fun(obj);
console.log(obj.a); // 4

obj.a = 4; // Здесь записывается свойство в объект obj , тот что вне функции , так как новый(тот что ниже ) еще не создан 
obj = {a:3}; // Здесь Вы в лексическом окружении функции создали новый объект obj.

var obj = {a:1};
function fun (a) {
    a.a = 4;//изменяем свойство obj 
    alert(obj.a);
    obj = {a:3};//изменяем само obj 

}
fun(obj);
alert(obj.a);