Изменение url браузера, без перезагрузки.
 

Почему, после того, как нажать на какой-нибудь таб, то url не меняется?

http://plnkr.co/edit/LBH1oWJJ3m5p9OJQAqY8?p=preview

И пишет какую-то ошибку

"Какая-то ошибка" - причина 99% багов в мире. )

На самом деле никаких ошибок не пишет и прекрасно работает.
Просто plnkr, что должно быть очевидно, запускает код во фрейме и меняется, соответственно, url фрейма, а не самого plnkr:
http://plnkr.co/edit/5STwkEtemMWRFbwappXN?p=preview

Локально пушать стейт незя, потому что небезопасно. Фурифокс так и говорит, мол "инсекур", а хром, как мы видим, наводит тень на плетень.

И как потом тестить? на локалхосте?

DivMan, именно на локалхосте, т.е. http://localhost/, с помощью локального же сервачка.
На локальных файлах ни в коем случае ничего тестировать нельзя, слишком много подводных грабель: с одной стороны внезапные ограничения и с другой столь же внезапные свободы.