Видимо отправление формы с последующим ее сбросом, если асинхронная отправка.

А как с этим бороться?
Вот еще одно видео, кода текст вставляется программно, он не появляется в DOM, а если текст набирается с клавиатуры или вставляется из буфера обмена, то он появляется ни только в textarea, но и в pre......
https://youtu.be/FLryKsE89xA

С чем? То что форма после отправления очищается, это нормальное явление, иначе можно по ошибке и дубликат данных на сервер оправить. А мультки с кодом смотреть я не любитель.

Я не понимаю, почему при клике на поле, удаляется программно вставленный текст? И почему, когда набираешь текст с клавиатуры, он виден в DOM, а программно вставленный текст не виден в DOM? Еще, набираемый текст с клавиатуры, почему то, дублируется в pre.....

То есть понятно, что само по себе изменение не произойдет, если его не инициализировать, пусть хоть весь документ общелкают? Следовательно вывод какой - изучить событие $("div[data-name='messenger-send-message-icon']").click();, в обработчике которого либо отправление формы, после чего form.reset(), либо просто очищается текстовое поле. Изучайте свой скрипт.

Почему не отображается в DOM программные изменения - ну так даже и события такого нет, чтобы отследить это, хотя это можно сделать также программно. Это потому, что в Web API есть ограничения связанные с безопасностью.

Проблема в том, что у мня не доступа скрипту сайта, по этому я не могу посмотреть событие клика.
А можно как-то с имитировать ввод с клавиатуры?

В отладчике посмотреть скрипт можно.