Выбор "input[radio]" лагает
 

Есть блоки с динамическим контентом;
и JS которые выбирает первые "радио-батоны"

в песочнице https://jsfiddle.net/1peag4n3/ - он Работает (!)
на сайте http://demodemo.pp.ua/ - нет!!!

* что делать не понятно...

Такого не может быть. Селектор работает в любом случае.

Тестировать свой код по шагам.

jekjuk,
ваш код ничего не делает ни в песочнице ни на сайте
замените его на

$(".region_style_slider input[type='radio']:first").prop('checked', true);