Нет, регуляркой это не решить. Понятно, что можно
Т.е. по сути ты просто напишешь свой парсер, который будет медленнее нативного + иметь свои баги. А проверка в итоге будет примерно следующей:

function isJSONString(string) {
    try {
        if(typeof string !== "string") {
            throw new Error('');
        }
        myJSONParser(string); // Fuck yeah!
        return true;
    } catch(e) {
        return false;
    }
}