По поводу синтаксиса, что не так
 

Почему не срабатывает функция?
http://jsfiddle.net/Webtoper/85krmpwb/

Не срабатывает - потому что слева в фидле выбрано onLoad, а потому твой код помещается в анонимную функцию вызываемую при загрузке страницы, и функция check становится локальной, не доступной из глобальной области видимости. Потому при клике её просто не находит.

А работает не правильно, после убирания onLoad - потому что условие заданно не правильно:

if(numbers!=1 || numbers!=2 || numbers!=3)
если( (numbers не равно 1) или (numbers не равно 2) или (numbers не равно 3) )

Допустим numbers == 1, ок, первое условие ложно, но уже второе(numbers не равно 2) - истинно. Условие должно быть:

if(numbers!=1 && numbers!=2 && numbers!=3)

P.S. В javascript не принято кидать исключения на каждый чих. Исключения следует использовать по прямому назначению(критические ошибки). Для всего остального более чем хватает обычной логики.

Ага, спасибо! Понятно теперь.
Думал просто сначала, что && потребует чтобы было введено вместе 1 и 2 и 3 (то есть, если ввести, например, 1 или 2 просто - то не сработает).

Логичней будет написать такое условие:

if(numbers < 1 || numbers > 3) {

}

А если пользователь введет текст?