Только, как я понял, там должно быть

alert("<p></p></p>".match(/<\p>.*?<\/p>/)[0])

Ведь мы ищем в теге <p>. А не в закрывающихся тегах </p>.
Или надо чтобы он ловил весь тег и с тем что внутри, типа такого?

alert("<a>что угодно внутри</a>".match(/<\a>.*?<\/a>/)[0])