Ваш способ помог, спасибо. Но есть вопрос: можно ли как-то запретить ему обновлять страницу, а то все пометки после этого исчезают, что не есть хорошо.

Это не мой способ, это так определено в РНР - проверка установленной переменной - isset(), а записано тернарным оператором, хотя это можно сделать и по другому.

Что значит обновлять страницу?

Как только я нажимаю "ОК" в алерте, у меня тут же обновляется страница.
Хотелось бы, чтобы этого не было

Не отправляйте форму - в одном из тестов <input name="test_button" type="submit" и она отправит форму, а в другом <input name="test_button" type="button" - эта конопка не отправляет.

Действительно, не заметил даже. Спасибо большое!