рони, поидее есть :-?
Изначально было 2 поля (раздел и место. Оба поля выпадающие списки).
На данный момент эти поля не нужны. Нужны поля "Город", "ФИО" и т.д. (обычное поле для ввода).
Вместо поля "Раздел" добавлен input:

<div class="row" id="placeElements">
      	<div class="col-md-12">
      	   <div class="form-group animated-labels input-filed">
      		   <label for="POPUP_SERVICE">Город</label>
             <div class="input">
             	<input type="text" name="" class="place_sections form-control">
            </div>
          </div>
        </div>
      </div>
    </div>

Вместо поля "Место" добавлен input:

<div class="row place_elements active" id="placeElements">
      	<div class="col-md-12">
      	   <div class="form-group animated-labels  input-filed">
      		   <label for="POPUP_SERVICE">ФИО</label>
             <div class="input">
             	<input type="text" name="" class="form-control">
            </div>
          </div>
        </div>
      </div>

_marisha,
так проверьте есть ли элемент $('.place_elements.active .place_sections')

Если сделать так

console.log($('.place_elements.active .place_sections').val());

, то в консоли выводится значение заполненного поля.
Если сделать так

console.log($('.place_elements .active .place_sections').attr('name'));

, то в консоли значение атрибута "name"(скрин прилагаю)

_marisha,
убрать JSON.parse не пробовали?

А зачем? Если предполагается, что данные уже объект, то будет ошибка типа Unexpected token in JSON ... Если в параметрах запроса явно не указан ожидаемый тип данных от сервера и сервер не передает заголовок mime типа (что и есть в реальности), то jQuery не обязательно поймет тип данных и примет их как текст. Если явно указан тип или сервером передан заголовок (вот тут не нужен JSON.parse), но данные невалидны, то в success будет null. А ошибка гласит о неожиданном конце данных.

Кажется ошибка найдена.
Если в

data: {action: 'setPlace', place_id: 54},

поставить численное значение, тогда ошибок нет.
А на данный момент передается строковой значение.
Где конкретно задается тип данных пока неизвестно :-?
Каким образом теперь весь функционал переделать под строковое значение - загадка...

_marisha,
data: {action: 'setPlace', place_id: +val},

Это как понимать, если все, что принимает сервер, это строки (не считая бинарные данные), а на сервере у вас intval($_POST['place_id'])? Приводить это на стороне клиента к числу нет никакого смысла.

- в таком случае ошибка с JSON сохраняется :(

- к сожалению, и мне пока не понятно зачем так сделали. Доработка досталась от предыдущих разработчиков.