- видимо что-то не понимаю :-?
В коде есть строка:

if($_POST) {
    exit(print_r($_POST, 1));
}

Правильно понимаю, что в браузере на 'этой же странице должен распечататься POST?
У меня при клике на кнопку "GO" появляется только alert

Что непонятного? Вы запрашиваете страницу, это какой метод? GET надо полагать. РНР код расположен в самом начале страницы, в противном случае ответом клиенту на его асинхронный запрос будет код всей страницы.

Если не было POST запроса, суперглобальный массив $_POST пуст, а значит условие if($_POST) не выполняется, клиенту отдается страница. Клиент жмет кнопку, это POST запрос, в массиве $_POST есть данные, условие выполняется, данные массива распечатываются в строку (перехват вывода указанием второго параметра в функции) и отдается клиенту с выходом. В противном случае после этого будет передан и код страницы.

На клиенте тоже простой код, запрос будет к текущей странице, адрес location, поэтому не важно как вы назвали страницу.

Это все. Если у вас нет ответа, то у вас проблемы на сервере какие-то. Если работает mod_rewrite, то тогда бы и у вашего кода не было бы ответа. Сделайте вывод $_REQUEST вместо $_POST. Что в ответе будет?