Kiev,
Вот:

var withoutSimilarNames=new Array(),names=new Array(),flag=false,count=0;
function clearingTheNames()
{
   names.push(prompt("Имя","g"));
   count=(withoutSimilarNames.length+names.length);
	
	for(var i=0;i<count;i++)
	 { 
	  
		for(var j=0;j<count;j++)
		{
		   if(names[i]==withoutSimilarNames[j])
		   {
		      alert("Нашёлся одинаковый, не добавляем!!!");
		      flag=false;
			  break;
		   }
		   else if(names[i]!=withoutSimilarNames[j]){flag=true;}
		}
		if(flag==true){alert("Добавляем!!!");withoutSimilarNames.push(names[i]);}
	}
	
	names=new Array();
    alert(withoutSimilarNames);
}

<a href="#" onclick="clearingTheNames()">Добавить новое имя</a>

Есть прорехи, доделаете сами, можете вообще модифицировать скрипт как хотите.

Ох, спасибо Вам!!!!

Kiev,
вот вы спрашиваете что у вас за ошибки
у вас весь код - ошибки
обратите внимание хотя бы на два цикла вместо одного в правильном решении

Gvozd,
та да, понимаю теперь.
буду усерднее работать.