1. Советую протестировать с помощью firebug на предмет отправок ajax запросов.
2. напишите ссылку так:
<a href="?id=article&article=<?=$article ?>&rate=good#voting" onClick="vote('good'); return false;">
или так:
<a href="?id=article&article=<?=$article ?>&rate=good#voting" onClick="return vote('good');">
3. Возможно что аякс отрабатывает, просто происходит редирект и Вы не видите результат работы.