[walik]

Так вы же не ждете загрузки DOM. При вызове $('#country_id').val() элемента еще нет на странице.

$(function() {
    autocompleteOptions = {
        minChars: 1,
        delay: 600,
        dataType: 'json',
        autoFill: true,
        extraParams: {
                country_id: $('#country_id').val()                      
        },
        width: 362,
        parse: function(data) {
 
        },
        formatItem: function(item) {
                                                  
  
        }          
    };
});