Окей, около формы (или где там хотите) создаете div с любым id (можно <div id="error"></div>), и в место
alert(error_msg); пишите
document.getElementById('error').innerHTML = error_msg;. Всех делов-то
P.S. Не забудьте скрипт расположить ниже form, иначе все сломается.