[Gvozd]

так апи чужих сайтов никак невозможно использовать?

Вы внимательно читаете, то что я пишу?
Если у сайта есть API предназначенное для внешнего использования javascript-ом, то разумеется можно.

вот в примере jqueryui.com/demos/autocomplete/#remote-jsonp работает с http://ws.geonames.org/searchJSON, а я хочу данные с http://api.myshows.ru/shows/search/?q=theory никак нельзя их получить?

в первом примере используется JSONP, а на втором сайте API предоставлено в JSON формате
Ищите API в JSONP формате, либо пробуйте варианты из ссылок выше