[Gvozd]

elem.innerHTML += '<br><a>сохранить</a>';

Эта строчка аналогична строке

var old_html = elem.innerHTML;
var new_html = old_html + '<br><a>сохранить</a>'//<input type="text" value="" /><br><a>сохранить</a>'
elem.innerHTML = new_html;

При этом все что находилось внутри elem - было из него убрано, и создано по-новой.
То есть INPUT в нем после этой операции, и INPUT до операции - это разные INPUT-ы.
Ссылку на старый INPUT вы сохранили в переменную node, и поэтому в этой переменной ссылка на старый элемент со старыми данными.
А вот новый элемент был создан уже без этих данных.

То же самое происходит с обработчиками события на INPUT_е: Вы повесили их на старый INPUT, а новый был создан без них.

Для того чтобы старые элементы сохранялись надо добавлять новые методами DOM, напрмиер через appendChild()