не при посте она естественно и будет false.
А при посте будет $_POST['ava'], т.е. все должно работать.
Если не работает то сразу надо искать ошибку в запросе
mysql_query($query) or die('Error:' . mysql_error());
просто этот текст ошибки, при аяксе, на вкладке Сеть, в полученных смотреть.