Гм, мне сейчас пришла в голову светлая мысль - поместить папку с ExtJS-страницей на tomcat, на котором работает restful-сервис. И обращаться к ней, соответственно, через
http://localhost:8080/
И всё заработало, во всех браузерах.
До этого они находились, вроде как на разных хостах. Но это вроде не должно смущать, раз уж мы к веб-сервису обращаемся?