[Dmitriyff]

в качестве поля дата передавайте объект, так проще

$.ajax({
  data: {
    cat: $("cat").val()
  }
})

а тут у вас очепятка наверно

$("#cat").toggleClass("flase"); // false, или у вас конечно такое индивидуальное название класса =-)

ну а вообще тут хорошо описана работа с $.ajax