[NikolasGrad]

1)Стр.26

var phone = $.trim($('input[name^=phone_]').val());
if (phone == "") {
  error_elements.push('input[name^=phone_]');
  error_message += (error_message == "" ? "" : ". ") + "Введите телефон";
  error_phone = true;
}

проверяет только первое поле.
Надо перебрать все:

var phone ="";
$('input[name^=phone_]').each(function(){
  phone += $.trim($(this).val());
});
if (phone == "") {
  error_elements.push('input[name^=phone_]');
  error_message += (error_message == "" ? "" : ". ") + "Введите телефон";
  error_phone = true;
}

2)Ответ сервера:
The requested URL /ajax_forms was not found on this server.
Неправильный адрес вызываемого скрипта:
Стр.52

$.ajax({
  url : '/ajax_forms',

Должно быть что-то вроде

url : '/ajax_forms.php',

Удачи!