[NikolasGrad]

// 1),2),3)
$("#drugoeinfo").css("display", "none"); // скрываем второй текст

// 3) только для третьего пункта
if (document.cookie.length > 0) { // проверяем куки
  var cookies = document.cookie.split(";");
  var cookieArray = new Array();
  for (var i = 0; i < cookies.length; i++) {
    var cookiei =cookies[i].split("=");
    cookieArray[unescape(cookiei[0])] = unescape(cookiei[1]);
  }
  if (cookieArray['info'] == "2"){ // есть куки info=2 (второй текст)
    $("#info").remove(); // прячем первый текст
    $("#drugoeinfo").css("display", "block"); // показываем  второй текст
  }
}
// /3) конец только для третьего пункта

// 1),2),3)
$("#second").click(function(){ // нажимаем кнопку
  $("#info").fadeOut("slow", function () { // медленно скрываем первый текст
    //$("#info").remove();

    $("#drugoeinfo").text("Новое значение"); // 1) только для первого пункта

    $("#drugoeinfo").fadeIn("slow"); // медленно показываем  второй текст

    document.cookie = escape("info=2;"); // 3) только для третьего пункта запись куки

  });
});

<div id="info">
Большой текст
<button id="second">другой</button>
</div>
<div id="drugoeinfo">
Другой большой текст
</div>