danik.js, спасибо за ответ!
Напишу решение моей проблемы на случай, если у кого-то возникнет похожая.
В файле test.php надо указать еще один заголовок:
header("Access-Control-Allow-Origin: адрес_сайта_с_которого_приходит_запрос");
ну или
header("Access-Control-Allow-Origin: *");