[ruslan_mart]

name=$('#name').find('input[name="name"]').val();

Ну так Вы в input'е пытаетесь найти ещё один input.

И зачем вообще тэг form, если Вы отправляете ajax запрос?

<div id="form">
   <input type="text" placeholder="Введите имя: *" id="name" />
   <input type="text" placeholder="Введите телефон: *" id="phone" />
   <input type="button" value="Заказать" onclick="send()" />
</div>

function send()
{
   $.post('sendmessage.php', {name:$('#name).val(), phone:$('#phone').val()},
   function(data){
      setTimeout(function(){
          $('#form').hide(700);
      }, 3000)
   });
}