[elnoro]

Я упростил код, чтобы решение стало очевидно:

<form action="">
    <p>Пароль:<input type="password" name="password1" id="password1" /></p>
    <p>Повторите пароль:<input type="password" name="password2" id="password2" /></p>
    <p>Email: <input type="text" name="email" id="email" /></p>
    <p><input type="submit" id="submit_button" onclick="return validateForm()"/></p>
</form>

function validateForm () {
    // проверяем пароли
    // выбираем элементы
    var password1 = document.getElementById('password1');
    var password2 = document.getElementById('password2');
    // сравниваем написанное, если не равно, то:
    if (password1.value !== password2.value) {
        // сообщаем пользователю, можно сделать как угодно
        alert('Проверьте пароли!');
        // сообщаем браузеру, что не надо обрабатывать нажатие кнопки
        // как обычно, т. е. не надо отправлять форму
        return false; 
    }
    // проверяем email
    var email = document.getElementById('email');
    // регулярка для проверки, не знаю, работает ли приведенный в примере
    var email_regexp = /[0-9a-zа-я_A-ZА-Я]+@[0-9a-zа-я_A-ZА-Я^.]+\.[a-zа-яА-ЯA-Z]{2,4}/i;
    // проверяем значение поля email, если нет, то: 
    if (!email_regexp.test(email.value)) {
        alert('Проверьте email');
        return false;
    }
}

Подробнее про return false . Здесь хочу отметить, что в случае ошибки функция возвращает ложь, а строчка в onclick кнопки возвращает значение функции всегда, т. е. при ошибке в onclick возвращается false.

Я также не был уверен в правильности регулярного выражения, приведенного выше, потому взял простейшее для проверки email. Про них можно прочитать на сайте.

Первая и главная ошибка, которая бросилась в глаза - неправильная верстка формы, т. е. 2 тега form. Кнопка submit должна находится в той же форме, которую отправляет. Подробнее тут.

Пример тут.