[x-yuri]

И, кстати, нигде в условии задачи я не увидел обязательного прохода по строке.

я думаю, надо было ограничиться указанными методами/свойствами:

function count( s, word, char ) {

    var text = document.getElementById(s).value;
    document.getElementById(char).value = text.length;
    var i = 0, wordCnt = 0;
    while( i >= 0 ) {
        while( text.charAt(i) == ' ' ) 
            i++;
        if( i < text.length )
            wordCnt++;
        i = text.indexOf(' ', i);
    }
    document.getElementById(word).value = wordCnt;
}