[danik.js]

/ объект
function Game() {

Не объект, а конструктор

скрипт падает this.addLog(gameId)

Неправда:

/**
 * @constructor
 */
function Game() {}

Game.prototype = {
    addLog: function (gameId) {
        alert('log:' + gameId);
    },
    startGame: function (gameId) {
        if (this.addLog(gameId)) {
            return true;
        }
        return false;
    }
};

Object.defineProperty(Game.prototype, 'constructor', {
    value: Game
});

var game = new Game();
game.startGame('someId');