[devote]

но он найдет 'lala' в 'lal'

исправимо, совсем небольшими правками:

function strpos(substring, string) {
    var index = 0, subindex = 0;
    var subStrLen = substring.length;
    var strLen = string.length;
    while(subindex < subStrLen && index < strLen) {
        if (substring.charCodeAt(subindex) === string.charCodeAt(index)) {
            subindex++;
        } else {
            index -= subindex;
            subindex = 0;
        }
        index++;
    }
    return subindex && subindex === subStrLen;
}
alert(strpos('привет', 'привет мир!'));
alert(strpos('lala', 'lal'));