Если хочешь именно решения скинь верстку карусели. Теория такова this - указывает на конкретный элемент т.е. после клика по кнопке тебе нужно обращаться к слайдеру через this. верстка примерно такая:
<div class="main_slider">
<div class="slider">
<div class="slide">Слайд 1</div>
<div class="slide">Слайд 2</div>
</div>
<div class="buttons">
<div class="button'>Кнопка</div>
</div>
</div>
То чтобы обратиться именно к этому слайдеру пользуемся тем что они лежат в общем диве main_slider
$(".button").click(function(){
$(this).parents(".main_slider").find(".slider"); //- Выбрали только нужный слайдер
});