[tktl]

Его задача - проверить есть ли такой ресурс. Проблема в том, что ресурса может не быть и в этом случае генерируется исключение, которое впоследствии выводится в консоль браузера. Я хочу отловить это исключение и по своему обработать. Try catch здесь не помогает.

Try catch здесь не нужен. Обрабатывайте ошибку в req.onerror.
Вы используете jQuery. У него есть удобный $.ajax().done().fail().
Но это не принципиально

Если этого нельзя сделать, то хотя бы как не выводить в консоль злорадное GET http://some_site/data/file.txt Идеи?

Не знаю зачем это нужно. Это же отладочная консоль. Инструмент разработчика.

window.onerror = null;