[ksa]

Предложу такой вариант...

var re = /(&nbsp;)|(<div>(&nbsp;)*<\/div>)|(<p>(&nbsp;)*<\/p>)/g;
var str = "<div id='test'><p>Paragraph 1</p><p>Paragraph 2</p><p></p><div>Div</div><div>&nbsp;&nbsp;</div></div>";
alert(str.replace(re, ''));

P.S.
Но ерундой таки лучше не заниматься.