[рони]

document.feedback.firstname_check.value

нет ни такого элемента document.feedback.firstname_check нет ни такого значения value

function checkForm() {
  var reg_error = document.getElementById("error_register");
  if (document.getElementById("firstname_check").innerHTML != "+") {
  reg_error.innerHTML  = "Имя заполнено неверно";
  };
  if (document.getElementById("email_check").innerHTML != "+") {
  reg_error.innerHTML  = "E-mail заполнен неверно";
  };
  if (document.getElementById("female_male").innerHTML != "+") {
  reg_error.innerHTML  = "Пол не указан";
  };
  if (reg_error.innerHTML  == "") return true;
  if (reg_error.innerHTML  != "") return false;
  }

точно ли тут пусто у вас или пробел ???

<span id="error_register"> </span>