ТС, у вас возникла трудность, поскольку вы сразу кинулись в жквери, с помощью которого написана эта вот функция show_message.
В ней используется ф-ция animate(), которая в контексте вашего примера запускает два сообщения параллельно.
Короткий путь для достижения вашей задачи - использовать костыль:
function my_function(){
show_message('<br>Это сообщение 1 _<br>');
setTimeout(function(){
show_message('<br>_ Это сообщение 2<br>');
}, 5000); // второе сообщение появится через 5 секунд.
}
Длинный путь - начать полноценное изучение javascript.