Так?
По умолчанию выводится по три дочерних категории у каждого родителя.
По клику на ссылку «Показать остальные дочерние категории» — показать остальные дочерние, которые относятся этому родителю.
<html>
<head>
<meta charset="UTF-8">
</head>
<body>
<ul>
<li>Название родительской категории</li>
<ul>
<li>Название дочерней категории 1</li>
<li>Название дочерней категории 2</li>
<li>Название дочерней категории 2</li>
<li>Показать остальные дочерние категории</li>
</ul>
<li>Название родительской категории 2</li>
<ul>
<li>Название дочерней категории 1</li>
<li>Название дочерней категории 2</li>
<li>Название дочерней категории 3</li>
<li>Показать остальные дочерние категории</li>
</ul>
</ul>
</body>
</html>