[jsnb]

И как мне быть в этой ситуации?

Ну сделайте для дивов куда должны попадать результаты какие-нибудь идентификаторы, тот же tid и ориентируясь по ним вставляйте данные.
Т.е. в HTML сделать что-то типо этого:

<div id='rating'>
<div class='rat_res' tid='111'>показывается рейтинг из БД</div>
<div class="rat_green" tid='111'></div>
</div>

<div id='rating'>
<div class='rat_res' tid='222'>показывается рейтинг из БД</div>
<div class="rat_green" tid='222'></div>
</div>

<div id='rating'>
<div class='rat_res' tid='333'>показывается рейтинг из БД</div>
<div class="rat_green" tid='333'></div>
</div>

А в JS что-то типо этого:

$(document).ready(function () {
  $('.rat_green').click(function () {
    var tid = $(this).attr("tid");
    $.ajax({
      type: "POST",
      url: "/like.php",
      data: "id=" + tid,
      dataType: "html",
      cache: false,
      success: function (data) {
        if (data == 'no') {
          alert('Вы уже голосовали');
        } else {
          $(".rat_res[tid="+tid+"]").html(data);
        }
      }
    });
  });
});