[Erolast]

А, тьфу, невнимательно прочитал. Нельзя этот код повторять - получается, что функция просто каждый раз заново переопределяется.
Сделай так:

<script type="text/javascript">
        function checkForm(form){
          var result = true;
          if (form.fio1.value==""){
            form.getElementsByClassName("error1")[0].innerHTML='Введите ваше имя';
            result = false;
          }
          else {
            form.getElementsByClassName("error1")[0].innerHTML='';
          };
          if (form.phone1.value==""){
            form.getElementsByClassName("error2")[0].innerHTML='Введите номер телефона';
            result = false;
          }
          else {
            form.getElementsByClassName("error2")[0].innerHTML='';
          };
          
          return result;
          
        };
        
      </script>
    
    <form onsubmit="return checkForm(this)" action="forms/form1.php" method="post" class="form1" >
<p><span>Отправьте заявку</span> сейчас и получите доставку Бесплатно</p>
 
            <input type="text" value="" name="fio1" class="input-chel"  >
            <div class='error1'></div>
            <input type="text" value="" name="phone1" class="input-coll" >
            <div class='error2'></div>
            <input type="submit" class="input-submit" value="" >
</form>

При этом скрипт оставляешь на странице один, а формы копируешь сколько влезет.