[jsnb]

Так подгружаться они должны когда? При создании нового селекта? Ну так в чем тогда проблема выполнить после создания селекта тот же самый ajax запрос что используется для первого, но с другим id элемента куда надо вставлять данные?
Например, сделать функцию вида:

function updateSelect(selectId) {
  $.ajax({ 
                type: "POST",
                url: "countryListUpdate.php",             
                dataType: "html", 
                success: function(response){ 
                    //alert(response); 
                    $('#'+selectId).html(response);
                }
            });
}

И вызывать ее после создания селекта:

var counter = 1;
 
    $("#add_field").click(function () {
 
	if(counter>10){
            alert("Достигнут лимит добавления полей!");
            return false;
	}   
 
	var newTextBoxDiv = $(document.createElement('div'))
	     .attr("id", 'CountryServiceOptionsBlock' + counter);

                newTextBoxDiv.after().html('<select id="select_country_id' + counter + '"><option value="">страна не выбрана</option></select><p>');
                                                                                                                                  
	newTextBoxDiv.appendTo("#ServiceBlockGroup");

	updateSelect("select_country_id' + counter);

	counter++;
        
     });

Ну и если данные одни те же во все селектах, то не проще подставлять их из первого селекта?