[Erolast]

$(document).ready(function(){
//тут твоя функция 
function yourName() {......} , и далее
$("#reload_btn").click(function (){ 
   yourName();
}
});

Создание именованной функции только после загрузки DOM? Это что еще за треш?

function some_function()
{
               $.ajax({
                'url' : 'captcha_base64_3.php',
                'type' : 'POST',
                'dataType' : 'json',
                 
                'success' : function(json) {
                    // обход json-а (только по первому уровню, НЕ вглубь)
                    /*console.group ('json')*/
                    $.each(json, function(i,elem){
                        /*console.log ("Параметр json:",i);
                        console.log (elem);*/
 
                        if (i == "captcha_base64"){
                        $(".captcha-image").attr('src','data:image/png;base64,'+elem);
                        }
                        if (i=='number_of_squares'){
                          alert(elem);
                        }
                    });
                    /*console.groupEnd('json');*/
                },
                'error' :function (xhr, ajaxOptions, thrownError){
                    console.warn(xhr.status);
                    console.warn(thrownError);
                }
            });
}

document.ready(some_function);
$("#reload_btn").click(some_function);

Ну, естественно, переназови some_function как там тебе надо.