[Safort]

fi.adm,

<div id="work_div">
    <input type="checkbox" class="checkbox" id="1" checked="checked"/>
    <input type="checkbox" class="checkbox" id="2"/>
    <input type="checkbox" class="checkbox" id="3" checked="checked"/>
    <input type="checkbox" class="checkbox" id="4"/>
    <input type="checkbox" class="checkbox" id="5"/>
    <br>
    <input type="button" id="checkbox_get" value="Получить id выбранных" onclick="getAllSelectedId()"/>
  </div>
</body>

<script>

  function getAllSelectedId() {
    var cb = document.querySelectorAll('.checkbox');
    var checked = [];

    for (var i = 0; i < cb.length; i++) {
      if (cb[i].checked) {
        checked.push(cb[i].id);
      }
    }

    var your_str = checked.join(',');  // собственно, строка
    console.log(your_str);             // выводим результат в консоль
  }

</script>