//здесь вы полученные данные(объект) превращаете в строку(stringify)
var rese = JSON.stringify(data);
//здесь alert отрабатывает нормально и показывает данные, не так ли?
alert( "Прибыли данные: " + rese);
//а вот здесь вы пытаетесь получить свойсво user_last_name у *!*строки*/!* rese, которое само собой не существует
var readerlastname = rese.user_last_name;
//в #p1 пишет undefined
$("#p1").text(readerlastname);
Должно быть:
var readerlastname = *!*data*/!*.user_last_name;
А по поводу исчезновения в отладчике могу предположить, что вы не научились пока пользоваться breakpoint'ами. Объект с данными же существует только на момент работы функции и исчезает(собирается GC) если не передан никуда дальше.