а теперь пишем
$(".second_inner").animate({"width": 702}, "slow");
console.log($(".second_inner").css('display', 'none'));
$.cookie("mycookie", $(".second_inner").css('display', 'none')); // устанавливаем куки
}, function() {
и смотрим в консоль firebug'а
что ты в куки записать хочешь?