[melky]

вообще это все на главной странице фреймворка написано ...
когда передаёшь callback в it, можно указать колбек для окончания теста
его сигнатура - node callback. то бишь первым параметром done ожидает получить ошибку.

describe('#find()', function(){
    it('respond with matching records', function(*!*done*/!*){
      db.find({ type: 'User' }, function(err, res){
        *!*if (err) return done(err);*/!*
        res.should.have.length(3);
        *!*done();*/!*
      })
    })
  })

в твоём случае можно и без sinon обойтись, но лучше его знать, дабы тесты выглядели простыми

Как протестировать с помощью mocha или chai функцию коллбэк?

всмысле. конкретно что нужно протестировать? сам факт вызова функции callback ? да, это sinon.

как именно - смотри страницу библиотеки. там второй пример показывает, что к чему:

it("calls the original function", function () {
    var callback = sinon.spy();
    var proxy = once(callback);

    proxy();

    assert(callback.called);
});

Если нужно проверить, что callback передаётся верное количество агрументов (и правильность самих агументов), см. в доку:

// вызван с аргументами arg1 и arg2 и более никакими
spyCall.calledWithExactly(arg1, arg2);

ну а вообще для сахарного использования sinon с chai, рекомендую этот модуль: sinon-chai

Если не смогёшь адаптировать свой код (или лень), вот спойлер:

function getSum(a, b, callback) {
    if (callback && typeof callback === 'function') {
        return callback(a, b);
    }

    return a; // 5
}


describe('getSum', function () {
  it('should pass in callback two numbers passed first', function (done) {
    getSum(5, 6, function (a, b) {
        a.should.be.equal(5);
        b.should.be.equal(6);
        done();
    });
  });
});