Спасибо за подсказку. Вобщем обошелся без document.write. Получился такой код:
<input id="output" type="text">
<input type="button" value="Следующий" onclick="schet()">
<script language="JavaScript">
a = new Array(4);
a[0] = 'Зима';
a[1] = 'весна';
a[2] = 'лето';
a[3] = 'осень';
i = Math.round((Math.random()*3))
b=document.querySelector("input")
b.value = a[i]
function schet(){
document.getElementById('output').value = a[i];
if(i==a.length-1) i=-1
this.value = a[++i];
}
</script>
В итоге все работает, но когда вставляю код на сайт, то кнопка работает, а рандом нет( Почему так?