[kiberchainik]

Работает что и как вы определили это, если перегружается, а не должно?

Вам показывали два способа предотвращения действия по умолчанию элемента и вы их кучей используете, а не работает? Самый правильный же, это выбросить тег А из кода, в данном случае он вообще не к месту.
Для чего он у вас? Для хранения "do=updateselect"? Ну вроде бы как список у вас один, параметр запроса ключ-значение вам никто не мешает прописать сразу в методе .ajax(). Может потому, что при теге А "красивую ручку" курсор имеет? Открываем CSS и прописываем классу icon стиль курсора pointer, и :hover тоже не проблема.

Выбрасывайте и проверяйте, будут ошибки теперь, анализируйте их, иначе гадание.

я с Вами согласен и это знаю, и метод отмены клика я так же делал, селект не обновлялся все равно, я не знаю как обратиться к обработчику без тега а, т.е. я думаю сделать так...

<img src="/ad/img/refresh.png"onclick="updateSelect();return false;" title="Обновить список" class="icon" />

function updateSelect() {   
    $.get ({
        type:'html',        
        url:'post.php?do=update',
        success:function(response) {
            $("#listFilter").html(response);
        }
    });
}